2_del_programa

2. del programa

Spodnji primeri so vzorčne naloge za starejše otroke od 8. razreda dalje, ko z otroki začenjamo raziskovati induktivno metodo. Osnovno gradivo, ki ga preučujemo z začetnike 5. razreda, je na voljo na povezavi do 1. dela programa.

Kombinatorika

Počasi izvajamo formule, ki jih postopoma izkoriščamo za reševanje nalog. Preučujemo permutacije, variacije, kombinacije (tudi s ponavljanjem), Pascalov trikotnik, razbijanja. Najbolj zanimivo je med reševanjem dobiti bolj preprosto rešitev.

V vrsto smo posadili 15 sadik. Koliko možnosti obstaja, da iz njih izberemo 5 sadik za presajenje tako, da nobeni dve izbrani sadiki ne bi rasli ena zraven druge?

Če bomo nalogo reševali od konca nazaj, s tem lahko dobimo takšno rešitev.

Predpostavimo, da smo izbrali 5 sadik za presajenje. Ostalo je rasti še 10 sadik, med katerimi je 5 lukenj na mestu, kjer so rasle izbrane sadike. Teh pet lukenj se lahko nahaja na katerem koli od 11 mest, ne več kot po eno luknjo na enem mestu. Število možnosti je enako številu kombinacij (brez ponavljanja) iz petih mest od enajstih:

С₁₁⁵=(11*10*9*8*7)/(5*4*3*2)=11*6*7=462 možnosti.

С₁₁⁵=462 možnosti.

Ko beremo knjigo, vidimo besedilo za črkami, besedilo pa razkriva idejo. Formula je besedilo. Če jo znamo prebrati, bomo dobili ideje za reševanje naloge. Na primer imamo:

Izrazite N z eno samo formulo.

Če znamo brati kombinatorične formule, lahko razumemo, da je to vsota produktov kombinacij. Vedno izbiramo med n predmeti, razlika pa je, koliko predmetov izberemo prvič in koliko drugič. Prvi seštevanec (С_n⁰ * С_nⁿ) pomeni, da smo najprej izbrali 0 predmetov, nato vseh n predmetov, drugi pa pomeni, da smo najprej izbrali 1 predmet, nato n-1 predmetov in tako dalje do zadnjega seštevanca, ki pomeni, da smo najprej izbrali n predmetov, nato 0 predmetov. Na koncu imamo vedno n izbranih predmetov. Predstavljajmo si primer, v katerem bi to lahko izračunali. Na primer si lahko predstavimo dve škatli. Prva vsebuje n različnih predmetov, druga pa n drugih (prav tako različnih) predmetov. Predmete izbiramo tako iz prve kot tudi iz druge škatle in na koncu imamo vedno n izbranih predmetov hkrati. Torej bi seštevanec С_n⁵ * С_n^n-5 pomenil, da smo našteli vse možnosti, kako lahko vzamemo iz prve škatle 5 predmetov, iz druge pa n-5 predmetov… Ko vse te možnosti upoštevamo, s tem dobimo skupno število možnosti za izbiro n predmetov med 2n različnimi predmeti, kar pomeni, da je N=C_2nⁿ.

Vsota nekaj prvih členov geometrijskega zaporedja

Če je aritmetično zaporedje sestavljeno tako, da imajo vsi pari sosednjih členov vedno enako razliko, potem je geometrijsko zaporedje sestavljeno tako, da imajo vsi pari sosednjih členov enak količnik. Torej je to zaporedje odvisno le od prvega člena in količnika, ki ga bomo imenovali koeficient. Na primer če je prvi člen a=3 in koeficient q=7, imamo naslednje zaporedje:

Če zaporedje omejimo na prvih n členov, bo zadnji člen enak 3*3*7^n-1. Poiščimo vsoto prvih n členov tega zaporedja. Imamo torej

Zdaj pa si poglejmo zabaven algebrski trik z uporabo naslednjega primera. Imamo:

Poiščimo M. Če to vsoto povečamo za 1, dobimo:

Po drugi strani velja, da je 2+2=2(1+1)=2*2=2², 2²+2²=2²(1+1)=2³. Če s tem nadaljujemo, dobimo: N+1=2ⁿ+2ⁿ=2*2ⁿ=2ⁿ⁺¹, torej je N=2ⁿ⁺¹-1.

V primeru vsote n prvih členov geometrijskega zaporedja, kjer je a=3 in q=7, imamo potrojeno vsoto vrste

Če bi zdaj dodali 1, ne bi s tem dobili nič ugodnega. Ampak če to vrsto najprej povečamo šestkrat, dobimo:

Če zdaj vsoto povečamo za 1, dobimo kar nekaj koristnega, ker je 7+6*7=7*7=7², 7²+6*7²=7³ in tako naprej.

Torej velja: 6N+1=7ⁿ⁺¹, kar pomeni, da je

Preverimo formulo za n=3. Imamo 3+3*7+3*49=3+21+147=171. Po drugi strani je (7³-1)/2=342/2=171, kar je prav.

Če to posplošimo na vsoto n členov geometrijskega zaporedja s prvim členom a in koeficientom q, dobimo formulo, ki jo poznamo iz šole:

V primeru, če je q>1, raje izkoristimo levo stran, med tem ko je za q<1 primernejša desna stran izraza.

Če bi si to formulo preprosto zapomnili, ne bi mogli rešiti te naloge:

Število N izrazite z eno samo formulo.

Izraz n! Pomeni, da je n!=n*(n-1)*(n-2)* … *2*1, torej je 1!=1, 2!=2*1=2, 3!=3*2*1 in tako naprej.

Trik, ki smo ga izkoristili za izpeljavo prejšnje formule, bo tudi tukaj koristen, ker velja, da je

med tem ko je

1+1*1!=2,

2+2*2!=2!+2*2!=3*2!=3!,

3!+3*3!=4*3!=4!,

kjer na koncu imamo n!+n*n!=(n+1)n!=(n+1)!, torej je N = (n+1)! – 1.

Fibonaccijevo zaporedje

Pravilo, po katerem določimo vsak naslednji člen tega zaporedja od 3. naprej, je preprosto, med tem ko Fibonaccijeva števila se uporabijo na številnih področjih industrije in znanstvenosti, kot so na primer v elektrotehnika, fizika, biologija.

Z otroki raziskujemo različne zanimive značilnosti tega zaporedja, ki jih je precej veliko. Navedla pa bom primer, kako smo z najstarejšimi učenci izpeljali Binetovo formulo za n. člen zaporedja.

Ideja je, da izkoristimo formulo za n. člen geometrijskega zaporedja, ki se začenja z 1, in sicer

Za to, da bi geometrijsko zaporedje ustrezalo pravilu Fibonaccijevega zaporedja (torej da bi bil vsak naslednji člen od 3. naprej vsota dveh prejšnjih členov,) bomo izbrali ustrezni količnik q:

Poiščimo q, upoštevajoč, da je q+1=q². S tem dobimo

Prvi koren enačbe je pozitivno število, kar je znano zlato razmerje. Drugi koren je negativno število, ki ga ne moremo izkoristiti kot dolžino daljice. Ampak smo matematike, kar pomeni, da ga lahko izkoristimo kot drugi člen zaporedja, ki je hkrati geometrijsko in Fibonaccijevo (s spremenjenim drugim členom.)

Tako smo dobili dva ustrezna zaporedja: zaporedje A in zaporedje B

Potem je n. člen Fibonaccijevega zaporedja

Zaključek

Ni nam treba, da si na pamet zapomnimo kup formul. Cilj je, da te formule ob potrebi lahko izpeljemo. Na primer, pozimi leta 2026 smo se s starejšimi učenci za zabavo raziskovali pitagorejske trojice. Odkrili smo marsikaj zabavnega, a to ni tako pomembno v primerjavi s prepričanjem, da znamo paziti ključne stvari in imamo ideje, da izkoristimo to, kar smo opazili. S tem si omogočimo odkrivanje nekaj novega, česar morda še nihče ni odkril.