Matematični klub za otroke 6 - 16 let
1. del programa
Kombinatorika
Učimo se na logični način naštevati možnosti razvrstiti predmete in znati pojasniti logično snov, ki jo upošteval otrok med naštevanjem. Skupaj izbiramo najbolj uporabno logično snov, ki jo lahko upoštevamo v primeru večine nalog za razvrščanje predmetov. S tem počasi izpeljemo kombinatorične formule za permutacije in variacije.
Pojma vsota in razlika
Delimo cela števila (predmete) na neenake dele. Ker matematični operaciji deljenja in množenja se ukvarjata z enakimi deli, iščemo možnosti, kako bi lahko dele izenačili, nato uporabimo operacijo deljenja oziroma množenja in na koncu z obratnim dejanjem dobimo spet neenake dele.
Na primer, če je vsota dveh števil (dveh skupin predmetov) enaka 100, razlika pa je 24, lahko najprej razliko odštejemo, s čimer dobimo dve enaki skupini predmetov z vsoto 76, potem z deljenjem dobimo dve skupini po 38 predmetov v vsaki in na koncu dodamo 24 predmetov v eno skupino, čimer dobimo števili 62 in 38.
V drugem primeru imamo 100 predmetov, ki smo jih v celoti razdelili med 10 otroki, pri čemer je nekaj otrok dobilo vsak po 8 predmetov, ostali pa vsak po 13 predmetov. Treba je določiti, koliko otrok je dobilo po 8 predmetov. Tukaj imamo drugačno situacijo. Števila lahko izenačimo, če najprej vsakemu otroku dodelimo po 8 predmetov. Zdaj lahko izkoristimo množenje in s tem določimo, da smo razdelili 80 predmetov med 10 otroki. Zdaj lahko poiščemo razliko, ki je enaka 13-8=5, in ostalih 20 predmetov razdelimo med nekaj otrok po 5 predmetov na vsakega (torej je tukaj deljenje na enake dele,) s čimer določimo, da so 20/5=4 otroke dobili po 13 predmetov, 10-4=6 otrok pa po 8 predmetov. Preverimo: 6*8+4*13=48+52=100, kar je prav. Učimo se paziti na pogoje in s tem dobivati ideje, kako lahko izkoristimo znanja in iznajdljivost, da se pripeljemo do odgovora.
Odrasli bi prvo nalogo rešili tako:
drugo pa tako:
in bi s tem naredili iste logične korake, ne da bi se tega zavedali 🙂
Tehtanje
Temelj je, da na podlagi tega, da je vsaka tehtnica uravnotežena, določimo, kaj lahko spremenimo tako, da bo zagotovo tehtnica še vedno uravnotežena. Ključno lahko naredimo tri različne vrste dejavnosti: 1. Odstranimo enako maso: od obeh strani tehtnice lahko odstranimo enake predmete (ki zagotovo imajo enako maso). 2. Kaj se je spremenilo: v primeru če imamo vsaj dve uravnoteženi tehtnici, lahko ju primerjamo med sabo in če določimo, da so na drugi tehtnici manj predmetov, a nismo dodali nobenega vmes, izkoristimo bistvo, da predmeti, ki manjkajo na obeh strani, tehtajo enako. 3. Zamenjava: če vidimo, da en predmet tehta kot nekaj drugih, ga lahko z njimi zamenjamo.
Na sliki je prikazano, da dve enaki lokomotivi tehtata kot dva helikopterja in tri medvede. Poleg tega vemo, da ena lokomotiva tehta kot dva helikopterja in en medved. Vprašanje je, koliko helikopterjev bo uravnotežilo enega medveda. Obstaja več načinov za reševanje. Navedem le dva možna od teh.
1. Izkoristimo to, kar bi lahko spremenili, da bi iz prve slike dobili drugo. Bistvo je, da smo od dveh lokomotiv odstranili eno, na drugi strani tehtnice pa smo odstranili dveh medvedov.
Torej lokomotiva tehta enako kot dva medveda. Če to primerjamo z drugo tehtnico, opazimo, da lokomotiva tehta kot dva helikopterja in en medved ter hkrati kot dva medveda.
Potem dva medveda tehtata kot dva helikopterja pa medved.
Zdaj od obeh strani tehtnice odstranimo po en medved in s tem dobimo, da en medved tehta kot dva helikopterja.
Med reševanjem smo izkoristili 1. in 2. vrsto dejavnosti.
2. Lahko to nalogo rešimo z zamenjavo. Ker je treba primerjati mase medveda in helikopterja, poskusimo z njimi zamenjati lokomotivo. Na drugi sliki je prikazano, da ena lokomotiva tehta kot dva helikopterja pa medved. Če vsako lokomotivo na prvi sliki zamenjamo z dvema helikopterjema in medvedov, dobimo, da štirje helikopterji in dva medveda tehtajo kot dva helikopterja in tri medvede.
Če od obeh strani tehtnice odstranimo enake predmete, dobimo, da dva helikopterja tehtata kot en medved.
Med reševanjem smo izkoristili 1. in 3. vrsto dejavnosti.
Odrasli bi nalogo rešili tako:
s čim bi naredili iste logične korake, ne da bi se tega zavedali 🙂
Presledki
Ta tema je precej podcenjena. Bistvo je preprosto: če predmete postavimo v krogu, bo število presledkov med sosednjimi predmeti enako številu predmetov. Če pa jih postavimo v vrsto, bo število presledkov eno manjše od števila predmetov. Najtežje je razumeti, kaj so predmeti in kaj so presledki v konkretnih primerih. Na primer, vemo, da bobnar natančno v 6 sekundah odbije trikrat (če čas merimo od prvega udarca do zadnjega). Koliko časa potrebuje, da z isto hitrostjo odbije 6-krat? Takoj ko bomo razumeli, da čas gre v presledkih med udarci (ker udarec sam zavzema le številčne stotine sekunde,) in se preklopimo na presledke, določimo, da sta med tremi udarci dva presledka (časovnih intervala) in en presledek traja 6/2=3 sekunde. Potem je med 6 udarci 5 presledkov, kar je skupaj 3*5=15 sekund (kar lahko preverjamo v praksi.)
Vsota vrste aritmetičnega zaporedja
Za zaključek bom navedla primer iz seštevanja sodih števil zapored od 10 do 100. Imamo nekaj sodih števil zapored od 10 do 100. Kolikšna je vsota vseh teh števil?
Vsa števila so različna, ampak tudi v tem primeru števila lahko izenačimo. Bistvo je, da je vsota prvega in zadnjega števila je enaka vsoti drugega in predzadnjega in tako naprej, ker je drugo število za dva večje od prvega, med tem ko je predzadnje za dva manjše od zadnjega.
Torej če k prvemu številu dodamo zadnje, k drugemu predzadnje in tako naprej do zadnjega števila (100), h kateremu dodamo prvo (10), s tem dobimo podvojeno vsoto, ki je sestavljena iz enakih števil. Potem lahko namesto večkratnega seštevanja uporabimo množenje in s tem dobimo podvojeno vsoto.
Težava je, da moramo najprej določiti, koliko je sodih števil od 10 do 100. In za to lahko izkoristimo presledki! Razlika med največjim in najmanjšim številom vrste je 100-10=90. Če število predstavimo v obliki stolpca iz kock, vrsto pa v obliki stopnišča, kjer je vsaka naslednja stopnica od druge naprej za 2 kocki večja od prejšnje, je razlika med največjim in najmanjšim številom enaka številu korakov, ki smo jih naredili med vzponom od prve do zadnje stopnice, pomnoženemu z višino stopnice, torej z 2. Število korakov pa od prve stopnice (prvega števila) do zadnje je enako številu presledkov med stopnicami. Ostalo je določiti število korakov, za kar naredimo vse v obratnem vrstnem redu: ker smo se vzpenjali za 90 kock in smo se z vsakim korakom vzpenjali za 2 kocki, smo morali skupaj narediti 90/2=45 korakov, kar pomeni, da ima stopnišče 46 stopnic.
Torej imamo 46 števil ali 46 stopnic. Potem je podvojena vsota sestavljena iz 46 števil, vsako od katerih je enako 100+10=110. Potem je podvojena vsota vrste enaka 110*46=5060, odgovor pa je 5060/2=4530. Med drugimi naloge rešujemo tudi naloge za obratne: Če vemo, da smo sešteli 46 sodih števil, s čimer dobili vsoto 4530. Naloga pa je določiti najmanjše in največje število. Otroci, ki razumejo bistvo, lahko poiščejo način reševanja še teh nalog.
To so le številčni primeri, kako se učimo namesto formul videti bistvo. Kako lahko to znanje pomaga med razumevanjem bolj zapletenih stvari, bom ponazorila v odstavku za 2. del programa.